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在FFT应用中为什么要采用时间窗呢?

2023-06-12 11:06:47 来源:RFZone

傅里叶变换(FFT)实现了时域到频域的转换,是信号分析中最常用的基本功能之一。本文将描述FFT应用中为什么要采用时间窗,以及RBW与时间窗的关系。

FFT变换是在一定假设下完成的,即认为被处理的信号是周期性的。图1给出了一正弦信号的采集样点波形,如果对Frame1作FFT运算,则会对其进行周期扩展。显然,在周期扩展的时候,造成了样点的不连续,样点不连续等同于相位不连续,相当于引入了相位调制,这将导致产生额外的频率成分,该现象称为频谱泄露。


(资料图片)

图1. 周期扩展引起样点的不连续

频谱泄露产生了原本信号中并不包含的频率成分,如图2所示,信号的频率本应只在虚线位置,但由于样点不连续,FFT之后导致产生了诸多频率点,如图所示的实线位置。频谱泄露会扰乱测试,尤其在观测小信号时,较强的频谱泄露成分可能淹没比较微弱的信号。

图2. 样点不连续引起频谱泄露

如何避免或者降低频谱泄露呢?这就需要使用下文介绍的时间窗(Window) 技术。

如果能够消除样点不连续,就可以消除频谱泄露。为了实现这一点,需要引入时间窗 (Window),时间窗包含的样点数目与信号相同,而且两端的样点值通常为0。在FFT之前,时间窗与波形相乘,周期扩展后可以保证样点的连续性。

图3. 通过引入时间窗可改善频谱泄露

时间窗相当于一个滤波器,不同的时间窗具有不同的频响特性,比如边带抑制、矩形因子等,相应的幅度测试精度也不同。虽然基于FFT的频谱分析中没有IF filter,但是依然有RBW的概念,时间窗就决定了RBW的形状和大小。

RBW称为分辨率带宽,决定了频率分辨率,RBW越小,分辨率越高。RBW与时间窗宽度(即Window Time) 成反比,但即使时间窗宽度相同,不同的时间窗类型对应的RBW也不同,存在一个因子 k,并满足如下关系:

下面以矩形窗为例,RBW与时间窗宽度有什么关系呢?矩形窗的双边带频谱为 Sa(ω)函数,如图4所示,假设窗口时间为T,则频率为** ±N*2π/T** (N为非零整数)处均为零点。矩形窗的双边带频谱可以写为如下表达式:

图4. 矩形窗的频谱特性(双边带频谱)

对于图4所示的频谱,相对峰值电平下降3dB的频点位于何处?从电压的角度讲,下降3dB的频点处,幅值将为峰值的 √2/2 。

简便起见,令sin(x)/x=√2/2 ,则x≈1.39 。经计算ω=2.78/T ,f=ω/2π≈0.443/T 。图4所示的频谱中,3dB带宽为:

图5. x=1.39处,幅值下降3dB

如前所述,FFT应用中会将信号周期扩展,因此FFT是将信号当作一个周期信号来对待的。FFT得到的频点也是离散的,这些离散的频点称为freq. bin,两个相邻bin之间的频间距为扩展周期的倒数,扩展周期即为时间窗的宽度。bin间距决定了频率分辨率,间距越小,频率分辨率越高。

类似于扫频式频谱分析,FFT频谱分析中也有RBW****的概念,尽管不存在IF filter在****FFT频谱分析中,RBW决定于时间窗幅频特性的3dB带宽。不同的时间窗类型,具有不同的****RBW表达式。对于矩形窗,RBW****为

从上式可以看出,同是表征频率分辨率的参数,矩形窗的RBW并不等于bin间距,而是小于bin间距。频谱分析应用中通常提及RBW,但RBW与bin间距存在如下关系

常见的时间窗类型包括:

Kaiser、Rectangular、Hamming、Hanning、Blackman-Harris、Flat-Top等。下图给出了不同时间窗类型对应的k因子大小。不同的时间窗,频谱泄露、幅度测试精度及RBW均不同,测试时应该如何选择呢,后文将有详细介绍。

图6. 不同时间窗类型对应的k因子不同

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